1. ¿QUÉ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL?
En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales.
Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea, una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:
F: V→WF: V→W es una transformación lineal si y sólo si:
- F(u+v) =F(u)+F(v) ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
- F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
2. ¿CUÁLES SON LAS CONDICIONES PARA QUE EXISTA UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL?
Propiedad 1
La imagen del vector nulo del dominio 0V0V es el vector nulo del condominio
0w0w: T(0V) =0wT(0V) =0w
Demostración:
T(0V) =T (0.v) =0 T(v)=0.w=0WT(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W
Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector del espacio vectorial VV, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.
Propiedad 2
La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv:T(–v) =–T(v)T(–v) =–T(v)
Demostración:
T(–v) =T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)
La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.
Propiedad 3
Consideremos rr vectores del espacio vectorial VV:v1, v2, vr∈Vv1, v2, vr∈V
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvrα1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde αi∈Rαi∈R.
Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:
F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)
Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de VV a WW, conservando los escalares de la combinación lineal.
3. AL MENOS CINCO PROPIEDADES O TEOREMAS DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
Teorema 1
Sea T: V→W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2,….vn, en V y todos los escalares α1, α2,…. αn:
i. T (0) = 0
ii. T (u-v) =Tu – Tv
iii. T (α1v1 + α2v2 + ….. αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + …… αnTvn
Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}.
Sean w1, w2, …. wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones
lineales de V en W tales que T1vi = T2vi =wi para i = 1, 2,., n. Entonces para
cualquier vector v ϵ V, T1v = T2v; es decir, T1 = T2
Teorema 3
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}.
Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, …. wn. Entonces existe una transformación lineal única T: V→W tal queTvi = wi para i 1, 2, …, n.
Teorema 4
Para definir este teorema se deben definir dos conceptos propios de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:
i. El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:
nu T = {v ϵ V : Tv = 0}
ii. La imagen de T, denotado por im T, está dado por:
Im T = {w ϵ W: w = Tv para alguna v ϵ V}
Ahora viene la definición del teorema:
Sea T: V→W es una transformación lineal, entonces
i. nu T es un subespacio de V.
ii. Im T es un subespacio de W.
Teorema 5
La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v: T(–v) = –T(v)
Demostración:
T(–v) =T(–1.v) = –1.T(v)=–T(v)
4. UN EJEMPLO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
¿Cómo demostrar que T es una transformación lineal?
Donde:
T: P2 --> M2x2
T (ax^2 + bx + c) = (a-b b)
(c+a 2a)
Hay que demostrar que es una aplicación y es lineal.
Que es una aplicación es obvio, a cada polinomio de P2 le corresponde una y solo una matriz de M2x2.
Y para ser lineal debe cumplir dos condiciones:
1) T(p+q) = T(p)+T(q) para todo p,q € P2
2) T(Kp) = k·T(p) para todo p € P2 y todo k€R
Demostración:
Sea p=ax^2+bx+c
q=a'x^2+b'x+c'
T(p+q) = T(ax^2+bx+c + a'x^2 +b'x +c') =
T((a+a')x^2+(b+b')x +(c+c') =
(a+a'-b-b' b+b’ )
(c+c'+a+a' 2a+2a')
·
T(p)+T(q) =T(ax^2+bx+c) + T(a'x^2+b'x+c') =
(a-b b) (a'-b' b') (a+a'-b-b' b+b')
(c+a 2a) + (c'+a' 2a') = (c+c'+a+a' 2a+2a')
5. CÓMO PROBAR ESA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
Como vemos los dos resultados son iguales, luego
T(p+q) =T(p)+T(q)
Y la segunda condición será
T(kp) = T(kax^2+kbx+kc) =
(ka-kb kb)
(kc+ka 2ka)
·
k·T(p) =
(a-b b) (ka-kb kb)
k (c+a 2a) = (kc+ka 2ka)
Los resultados son iguales, luego:
T(kp) = k·T(p)
Y siendo una aplicación y cumpliendo esas dos condiciones se cumple que T es una transformación lineal (o aplicación lineal en otros sitios).
