Transformaciones lineales

1. ¿Qué es una transformación lineal?
Una transformación lineal es una función en un espacio vectorial V y W que trata de

representar un vector, un polinomio, una matriz, entre otros, de una forma a otra,

que conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

2. ¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?
Solo es una transformación lineal L = a → b si se cumplen estas dos condiciones:L(a +b) = L(a) + L(b)          

L(ax) = a*L(x)

Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Teorema 1

Sea T: V→W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2,….vn, en V y todos los escalares α1, α2,…. αn:

i.              T(0) = 0

ii.            T (u-v)=Tu – Tv

iii.           T (α1v1 + α2v2 + ….. αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + …… αnTvn

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}. Sean w1, w2, …. wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi =wi para i = 1, 2,., n. Entonces para cualquier vector v ϵ V, T1v = T2v; es decir, T1 = T2

Teorema 3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, …. wn. Entonces existe una transformación lineal única T: V→W tal que Tvi = wi para i 1, 2, …, n.

Teorema 4

Para definir este teorema se deben definir dos conceptos propios de las transformaciones lineales: imagen y núcleo

Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:

i.              El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:

nu T = {v ϵ V : Tv = 0}

ii.            La imagen de T, denotado por im T, está dado por:

Im T = {w ϵ W : w = Tv para alguna v ϵ  V}

Sea T: V→W es una transformación lineal, entonces

i.              nu T es un subespacio de V.

ii.            Im T es un subespacio de W.

Teorema 5

La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

T(–v)= –T(v)

Demostración:

T(–v)=T(–1.v) = –1.T(v)=–T(v)

Un ejemplo de una transformación lineal

Encontrar la  transformación L ( -2, 3 , 4)L( 1 , 0 , 0) = (-1, 2)
L( 0 , 1 , 0) = (3, 1)
L( 0 , 0 , 1) = (1, -1)

L ( -2, 3 , 4) = -2i + 3j + 4k

L ( -2, 3 , 4) = -2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)
L ( -2, 3 , 4) = -2 (-1 , 2) + 3(3, 1) + 4(1, 2)
L ( -2, 3 , 4) = (2 , -4) + (9, 3) + (4, 8)
L ( -2, 3 , 4) = (15, 7) → Representación lineal.

¿Cómo probar esa transformación lineal?

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3 P4 y a los materiales como R1, R2, R3. La tabla muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto:

MATERIALES	PRODUCTOS
	P1	P2	P3	P4
R1	2	1	3	4
R2	4	2	2	1
R3	3	3	1	2

¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que:

R = P1 • 2 + P2 • 2 + P3 • 3 + P4 • 4, o sea

R1 = 10 • 2 + 30 • 2 + 20 • 3 + 50 • 4 = 310 unidades.

R2 = 10 • 4 + 30 • 2 + 20 • 2 + 50 • 1 = 190 unidades.

R3 = 10 • 3 + 30 • 3 + 20 • 1 + 50 • 2 = 240 unidades.

Espacios Vectoriales

¿Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Representación gráfica de un espacio vectorial

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los siguientes axiomas:

Ley de composición interna: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces (Ū+ ṽ) está en V.

Propiedad conmutativa: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces Ū+ ṽ = ṽ + Ū.

Propiedad asociativa: si Ū, ṽ y ŵ son vectores de V, entonces Ū + (ṽ + ŵ) = (Ū + ṽ) + ŵ.

Existencia del elemento neutro: existe un vector V, denominado vector nulo, tal que para cualquier vector Ū de V: Ō + Ū = Ū+ Ō= Ū.

Existencia del elemento inverso aditivo: para todo vector Ū de V existe un vector – Ū en V, denominado opuesto de Ū tal que Ū+(Ū) = (-Ū) + Ū = Ō.

Ley de composición externa: si A: es cualquier número real y Ū es cualquier vector de V, entonces (A. Ū) está en V.

Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de vector: si A: es cualquier número real y Ū y ṽ son vectores de V, entonces A*(Ū+ ṽ) =A* Ū+A* ṽ.

Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A y B son cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces (A+B) * Ū=A* Ū+B* Ū.

Asociatividad mixta: si A y B son cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces A*(B* Ū) = (A*B) * Ū=B*(A* Ū).

Identidad: si Ū es cualquier vector de V, entonces 1* Ū= Ū.

¿Qué es un subespacio vectorial?

Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.

Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V. De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.

Representación gráfica de un subespacio:

Ejemplo:

Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

Condición de existencia de subespacio. El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. 

Para ello se definen 4 axiomas que, de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1.    S no es un conjunto vacío.

2.    S es igual o está incluido en V.

3.    La suma es ley de composición interna.

4.    El producto es ley de composición externa.

Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Ejemplo subespacio:

Consideremos el conjunto W={(x,y)∈R2|xy=0}W={(x,y)∈R2|xy=0}, ¿Es un subespacio de R2R2?

Se cumple (a) pues (0,0) ∈W (0,0) ∈W

No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de WW puede no estar en WW, por ejemplo:

(1,0) +(0,1) = (1,1) ∉W (1,0) +(0,1) = (1,1) ∉W

Entonces WW no es un subespacio de R2R2.

Explique cuáles son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensión

Rango