Transformaciones lineales

1. ¿Qué es una transformación lineal?
Una transformación lineal es una función en un espacio vectorial V y W que trata de

representar un vector, un polinomio, una matriz, entre otros, de una forma a otra,

que conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

2. ¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?
Solo es una transformación lineal L = a → b si se cumplen estas dos condiciones:L(a +b) = L(a) + L(b)          

L(ax) = a*L(x)

Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Teorema 1

Sea T: V→W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2,….vn, en V y todos los escalares α1, α2,…. αn:

i.              T(0) = 0

ii.            T (u-v)=Tu – Tv

iii.           T (α1v1 + α2v2 + ….. αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + …… αnTvn

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}. Sean w1, w2, …. wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi =wi para i = 1, 2,., n. Entonces para cualquier vector v ϵ V, T1v = T2v; es decir, T1 = T2

Teorema 3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, …. wn. Entonces existe una transformación lineal única T: V→W tal que Tvi = wi para i 1, 2, …, n.

Teorema 4

Para definir este teorema se deben definir dos conceptos propios de las transformaciones lineales: imagen y núcleo

Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:

i.              El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:

nu T = {v ϵ V : Tv = 0}

ii.            La imagen de T, denotado por im T, está dado por:

Im T = {w ϵ W : w = Tv para alguna v ϵ  V}

Sea T: V→W es una transformación lineal, entonces

i.              nu T es un subespacio de V.

ii.            Im T es un subespacio de W.

Teorema 5

La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

T(–v)= –T(v)

Demostración:

T(–v)=T(–1.v) = –1.T(v)=–T(v)

Un ejemplo de una transformación lineal

Encontrar la  transformación L ( -2, 3 , 4)L( 1 , 0 , 0) = (-1, 2)
L( 0 , 1 , 0) = (3, 1)
L( 0 , 0 , 1) = (1, -1)

L ( -2, 3 , 4) = -2i + 3j + 4k

L ( -2, 3 , 4) = -2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)
L ( -2, 3 , 4) = -2 (-1 , 2) + 3(3, 1) + 4(1, 2)
L ( -2, 3 , 4) = (2 , -4) + (9, 3) + (4, 8)
L ( -2, 3 , 4) = (15, 7) → Representación lineal.

¿Cómo probar esa transformación lineal?

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3 P4 y a los materiales como R1, R2, R3. La tabla muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto:

MATERIALES	PRODUCTOS
	P1	P2	P3	P4
R1	2	1	3	4
R2	4	2	2	1
R3	3	3	1	2

¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que:

R = P1 • 2 + P2 • 2 + P3 • 3 + P4 • 4, o sea

R1 = 10 • 2 + 30 • 2 + 20 • 3 + 50 • 4 = 310 unidades.

R2 = 10 • 4 + 30 • 2 + 20 • 2 + 50 • 1 = 190 unidades.

R3 = 10 • 3 + 30 • 3 + 20 • 1 + 50 • 2 = 240 unidades.